Математическое ожидание

Дисперсия непрерывной случайной величины X , возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством:

Назначение сервиса . Онлайн калькулятор предназначен для решения задач, в которых заданы либо плотность распределения f(x) , либо функция распределения F(x) (см. пример). Обычно в таких заданиях требуется найти математическое ожидание, среднее квадратическое отклонение, построить графики функций f(x) и F(x) .

Инструкция . Выберите вид исходных данных: плотность распределения f(x) или функция распределения F(x) .

Задана плотность распределения f(x):

Задана функция распределения F(x):

Непрерывная случайна величина задана плотностью вероятностей
(закон распределения Релея – применяется в радиотехнике). Найти M(x) , D(x) .

Случайную величину X называют непрерывной , если ее функция распределения F(X)=P(X < x) непрерывна и имеет производную.
Функция распределения непрерывной случайной величины применяется для вычисления вероятностей попадания случайной величины в заданный промежуток:
P(α < X < β)=F(β) - F(α)
причем для непрерывной случайной величины не имеет значения, включаются в этот промежуток его границы или нет:
P(α < X < β) = P(α ≤ X < β) = P(α ≤ X ≤ β)
Плотностью распределения непрерывной случайной величины называется функция
f(x)=F’(x) , производная от функции распределения.

Свойства плотности распределения

1. Плотность распределения случайной величины неотрицательна (f(x) ≥ 0) при всех значениях x.
2. Условие нормировки:

Геометрический смысл условия нормировки: площадь под кривой плотности распределения равна единице.
3. Вероятность попадания случайной величины X в промежуток от α до β может быть вычислена по формуле

Геометрически вероятность попадания непрерывной случайной величины X в промежуток (α, β) равна площади криволинейной трапеции под кривой плотности распределения, опирающейся на этот промежуток.
4. Функция распределения выражается через плотность следующим образом:

Значение плотности распределения в точке x не равно вероятности принять это значение, для непрерывной случайной величины речь может идти только о вероятности попадания в заданный интервал. Пусть =∑x i p i , если ряд сходится абсолютно.

Назначение сервиса . С помощью сервиса в онлайн режиме вычисляются математическое ожидание, дисперсия и среднеквадратическое отклонение (см. пример). Кроме этого строится график функции распределения F(X) .

Свойства математического ожидания случайной величины

1. Математическое ожидание постоянной величины равно ей самой: M[C]=C , C – постоянная;
2. M=C M[X]
3. Математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме их математических ожиданий: M=M[X]+M[Y]
4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий: M=M[X] M[Y] , если X и Y независимы.

Свойства дисперсии

1. Дисперсия постоянной величины равна нулю: D(c)=0.
2. Постоянный множитель можно вынести из-под знака дисперсии, возведя его в квадрат: D(k*X)= k 2 D(X).
3. Если случайные величины X и Y независимы, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий: D(X+Y)=D(X)+D(Y).
4. Если случайные величины X и Y зависимы: D(X+Y)=DX+DY+2(X-M[X])(Y-M[Y])
5. Для дисперсии справедлива вычислительная формула:
   D(X)=M(X 2)-(M(X)) 2

Пример . Известны математические ожидания и дисперсии двух независимых случайных величин X и Y: M(x)=8 , M(Y)=7 , D(X)=9 , D(Y)=6 . Найти математическое ожидание и дисперсию случайное величины Z=9X-8Y+7 .
Решение. Исходя из свойств математического ожидания: M(Z) = M(9X-8Y+7) = 9*M(X) - 8*M(Y) + M(7) = 9*8 - 8*7 + 7 = 23.
Исходя из свойств дисперсии: D(Z) = D(9X-8Y+7) = D(9X) - D(8Y) + D(7) = 9^2D(X) - 8^2D(Y) + 0 = 81*9 - 64*6 = 345

Алгоритм вычисления математического ожидания

Свойства дискретных случайных величин: все их значения можно перенумеровать натуральными числами; каждому значению сопоставить отличную от нуля вероятность.

1. Поочередно умножаем пары: x i на p i .
2. Складываем произведение каждой пары x i p i .
   Например, для n = 4: m = ∑x i p i = x 1 p 1 + x 2 p 2 + x 3 p 3 + x 4 p 4

Функция распределения дискретной случайной величины ступенчатая, она возрастает скачком в тех точках, вероятности которых положительны.

Пример №1 .

x i	1	3	4	7	9
p i	0.1	0.2	0.1	0.3	0.3

Математическое ожидание находим по формуле m = ∑x i p i .
Математическое ожидание M[X] .
M[x] = 1*0.1 + 3*0.2 + 4*0.1 + 7*0.3 + 9*0.3 = 5.9
Дисперсию находим по формуле d = ∑x 2 i p i - M[x] 2 .
Дисперсия D[X] .
D[X] = 1 2 *0.1 + 3 2 *0.2 + 4 2 *0.1 + 7 2 *0.3 + 9 2 *0.3 - 5.9 2 = 7.69
Среднее квадратическое отклонение σ(x) .
σ = sqrt(D[X]) = sqrt(7.69) = 2.78

Пример №2 . Дискретная случайная величина имеет следующий ряд распределения:

Х	-10	-5	0	5	10
р	а	0,32	2a	0,41	0,03

Найти величину a , математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение этой случайной величины.

Решение. Величину a находим из соотношения: Σp i = 1
Σp i = a + 0,32 + 2 a + 0,41 + 0,03 = 0,76 + 3 a = 1
0.76 + 3 a = 1 или 0.24=3 a , откуда a = 0.08

Пример №3 . Определить закон распределения дискретной случайной величины, если известна её дисперсия, причем х 1 x 1 =6; x 2 =9; x 3 =x; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3
d(x)=12,96

Решение.
Здесь надо составить формулу нахождения дисперсии d(x) :
d(x) = x 1 2 p 1 +x 2 2 p 2 +x 3 2 p 3 +x 4 2 p 4 -m(x) 2
где матожидание m(x)=x 1 p 1 +x 2 p 2 +x 3 p 3 +x 4 p 4
Для наших данных
m(x)=6*0,3+9*0,3+x 3 *0,1+15*0,3=9+0.1x 3
12,96 = 6 2 0,3+9 2 0,3+x 3 2 0,1+15 2 0,3-(9+0.1x 3) 2
или -9/100 (x 2 -20x+96)=0
Соответственно надо найти корни уравнения, причем их будет два.
x 3 =8, x 3 =12
Выбираем тот, который удовлетворяет условию х 1 x 3 =12

Закон распределения дискретной случайной величины
x 1 =6; x 2 =9; x 3 =12; x 4 =15
p 1 =0,3; p 2 =0,3; p 3 =0,1; p 4 =0,3

Каждая случайная величина полностью определяется своей функцией распределения.

В то же время при решении практических задач достаточно знать несколько числовых параметров, которые позволяют представить основные особенности случайной величины в сжатой форме. К таким величинам относятся в первую очередь математическое ожидание и дисперсия.

Математическое ожидание - число, вокруг которого сосредоточены значения случайной величины. Математическое ожидание случайной величины x обозначается M x .

Математическое ожидание дискретной случайной величины x , имеющей распределение

x 1	x 2	...	x n
p 1	p 2	...	p n

называется величина , если число значений случайной величины конечно.

Если число значений случайной величины счетно, то . При этом, если ряд в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Математическое ожидание непрерывной случайной величины с плотностью вероятностей p x (x ) вычисляется по формуле . При этом, если интеграл в правой части равенства расходится, то говорят, что случайная величина x не имеет математического ожидания.

Если случайная величина h является функцией случайной величины x , h = f (x ), то

.

Аналогичные формулы справедливы для функций дискретной случайной величины:

, .

Основные свойства математического ожидания:

• математическое ожидание константы равно этой константе, M c=c ;

• математическое ожидание - линейный функционал на пространстве случайных величин, т.е. для любых двух случайных величин x , h и произвольных постоянных a и b справедливо: M (ax + bh ) = a M (x )+ b M (h );

• математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий, т.е. M (x h ) = M (x )M (h ).

Дисперсия случайной величины характеризует меру разброса случайной величины около ее математического ожидания.

Если случайная величина x имеет математическое ожидание M x , то дисперсией случайной величины x называется величина D x = M (x - M x ) 2 .

Легко показать, что D x = M (x - M x ) 2 = M x 2 - M (x ) 2 .

Эта универсальная формула одинаково хорошо применима как для дискретных случайных величин, так и для непрерывных. Величина M x 2 >для дискретных и непрерывных случайных величин соответственно вычисляется по формулам

, .

Для определения меры разброса значений случайной величины часто используется среднеквадратичное отклонение , связанное с дисперсией соотношением .

Основные свойства дисперсии:

• дисперсия константы равна нулю, D c =0;

• для произвольной константы D (cx ) = c 2 D (x );

• дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий: D (x ± h ) = D (x ) + D (h ).

В теории вероятностей и математической статистике, помимо математического ожидания и дисперсии, используются и другие числовые характеристики случайных величин. В первую очередь это начальные и центральные моменты.

Начальным моментом k-го порядка случайной величины x называется математическое ожидание k -й степени случайной величины x , т.е. a k = M x k .

Центральным моментом k-го порядка случайной величины x называется величина m k , определяемая формулой m k = M (x - M x ) k .

Заметим, что математическое ожидание случайной величины - начальный момент первого порядка, a 1 = M x , а дисперсия - центральный момент второго порядка,

a 2 = M x 2 = M (x - M x ) 2 = D x .

Существуют формулы, позволяющие выразить центральные моменты случайной величины через ее начальные моменты, например:

m 2 =a 2 -a 1 2 , m 3 = a 3 - 3a 2a 1 + 2a 1 3 .

Если плотность распределения вероятностей непрерывной случайной величины симметрична относительно прямой x = M x , то все ее центральные моменты нечетного порядка равны нулю.

В теории вероятностей и в математической статистике в качестве меры асимметрии распределения является коэффициент асимметрии, который определяется формулой ,

где m 3 - центральный момент третьего порядка, - среднеквадратичное отклонение.

Нормальное распределение наиболее часто используется в теории вероятностей и в математической статистике, поэтому график плотности вероятностей нормального распределения стал своего рода эталоном, с которым сравнивают другие распределения. Одним из параметров, определяющих отличие распределения случайной величины x , от нормального распределения, является эксцесс.

Эксцесс g случайной величины x определяется равенством .

У нормального распределения, естественно, g = 0. Если g (x ) > 0, то это означает, что график плотности вероятностей p x (x ) сильнее “заострен”, чем у нормального распределения, если же g (x ) < 0, то “заостренность” графика p x (x ) меньше, чем у нормального распределения.

Среднее гармоническое и среднее геометрическое случайной величины - числовые характеристики, используемые в экономических вычислениях.

Средним гармоническим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .

Например, для непрерывной случайной величины, распределенной равномерно на [a, b ],

0 < a < b , среднее гармоническое вычисляется следующим образом:

и .

Средним геометрическим случайной величины, принимающей положительные значения, называется величина .

Название “среднее геометрическое” происходит от выражения среднего геометрического дискретной случайной величины, имеющей равномерное распределение

0.577 - постоянная Эйлера.

Понятие математического ожидания можно рассмотреть на примере с бросанием игрального кубика. При каждом броске фиксируются выпавшие очки. Для их выражения используются натуральные значения в диапазоне 1 – 6.

После определенного количества бросков при помощи не сложных расчетов можно найти среднее арифметическое значение выпавших очков.

Также, как и выпадение любого из значений диапазона, эта величина будет случайной.

А если увеличить количество бросков в несколько раз? При больших количествах бросков среднее арифметическое значение очков будет приближаться к конкретному числу, получившему в теории вероятностей название математического ожидания.

Итак, под математическим ожиданием понимается среднее значение случайной величины. Данный показатель может представляться и в качестве взвешенной суммы значений вероятной величины.

Это понятие имеет несколько синонимов:

• среднее значение;
• средняя величина;
• показатель центральной тенденции;
• первый момент.

Иными словами, оно является ничем иным как числом вокруг которого распределяются значения случайной величины.

В различных сферах человеческой деятельности подходы к пониманию математического ожидания будут несколько отличаться.

Оно может рассматриваться как:

• средняя выгода, полученная от принятия какого-то решения, в том случае, когда такое решение рассматривается с точки зрения теории больших чисел;
• возможная сумма выигрыша либо проигрыша (теория азартных игр), рассчитанная в среднем для каждой из ставок. На сленге они звучат как «преимущество игрока» (позитивно для игрока) либо «преимущество казино» (негативно для игрока);
• процент прибыли, полученной от выигрыша.

Матожидание не является обязательным для абсолютно всех случайных величин. Оно отсутствует для тех у которых наблюдается расхождение соответствующей суммы или интеграла.

Свойства математического ожидания

Как и любому статистическому параметру, математическому ожиданию присущи свойства:

Основные формулы для математического ожидания

Вычисление математического ожидания может выполняться как для случайных величин, характеризующихся как непрерывностью (формула А), так и дискретностью (формула Б):

1. M(X)=∑i=1nxi⋅pi, где xi – значения случайной величины, pi – вероятности:
2. M(X)=∫+∞−∞f(x)⋅xdx, где f(x) – заданная плотность вероятностей.

Примеры вычисления математического ожидания

Пример А.

Можно ли узнать средний рост гномов в сказке о Белоснежке. Известно, что каждый из 7 гномов имел определенный рост: 1,25; 0,98; 1,05; 0,71; 0,56; 0,95 и 0,81 м.

Алгоритм вычислений достаточно прост:

• находим сумму всех значений показателя роста (случайная величина):
  1,25+0,98+1,05+0,71+0,56+0,95+ 0,81 = 6,31;
• полученную сумму делим на количество гномов:
  6,31:7=0,90.

Таким образом, средний рост гномов в сказке равен 90 см. Иными словами таково математическое ожидание роста гномов.

Рабочая формула — М(х)=4 0,2+6 0,3+10 0,5=6

Практическая реализация математического ожидания

К вычислению статистического показателя математического ожидания прибегают в различных сферах практической деятельности. В первую очередь речь идет о коммерческой сфере. Ведь введение Гюйгенсом этого показателя связано с определением шансов, которые могут быть благоприятными, либо напротив неблагоприятными, для какого-то события.

Этот параметр широко применяется для оценки рисков, особенно если речь идет о финансовых вложениях.
Так, в предпринимательстве расчет математического ожидания выступает в качестве метода для оценивания риска при расчете цен.

Также данный показатель может использоваться при расчете эффективности проведения тех или иных мероприятий, например, по охране труда. Благодаря ему можно вычислить вероятность наступления события.

Еще одна сфера применения данного параметра – менеджмент. Также он может рассчитываться при контроле качества продукции. Например, при помощи мат. ожидания можно рассчитать возможное количество изготовления бракованных деталей.

Незаменимым мат.ожидание оказывается и при проведении статистической обработки полученных в ходе научных исследований результатов. Он позволяет рассчитать и вероятность проявления желательного либо нежелательного исхода эксперимента или исследования в зависимости от уровня достижения поставленной цели. Ведь ее достижение может ассоциироваться с выигрышем и выгодой, а ее не достижение – в качестве проигрыша либо убытка.

Использование математического ожидания на Форекс

Практическое применение данного статистического параметра возможно при проведении операций на валютном рынке. С его помощью можно осуществлять анализ успешности торговых сделок. При чем увеличение значения ожидания свидетельствует об увеличении их успешности.

Также важно помнить, что математическое ожидание не должно рассматриваться в качестве единственного статистического параметра используемого для анализа работы трейдера. Использование нескольких статистических параметров наряду со средним значением повышает точность проводимого анализа в разы.

Данный параметр хорошо зарекомендовал себя при мониторинговых наблюдениях за торговыми счетами. Благодаря ему выполняется быстрая оценка работ, осуществляемых на депозитном счете. В тех случаях, когда деятельность трейдера удачна и он избегает убытков, пользоваться исключительно расчетом математического ожидания не рекомендуется. В этих случаях не учитываются риски, что снижает эффективность анализа.

Проведенные исследования тактик трейдеров свидетельствуют о том, что:

• наиболее эффективными оказываются тактики, базирующиеся на случайном входе;
• наименее эффективны – тактики, базирующиеся на структурированных входах.

В достижении позитивных результатов не менее важны:

• тактика управления капиталом;
• стратегии выходов.

Используя такой показатель как математическое ожидание можно предположить каким будет прибыль либо убыток при вложении 1 доллара. Известно, что этот показатель, рассчитанный для всех игр, практикуемых в казино, в пользу заведения. Именно это позволяет зарабатывать деньги. В случае длинной серии игр вероятность потери денег клиентом существенно возрастает.

Игры профессиональных игроков ограничены небольшими временными промежутками, что увеличивает вероятность выигрыша и снижает риск проигрыша. Такая же закономерность наблюдается и при выполнении инвестиционных операций.

Инвестор может заработать значительную сумму при положительном ожидании и совершении большого количества сделок за небольшой временной промежуток.

Ожидание может рассматриваться как разница между произведением процента прибыли (PW) на среднюю прибыль (AW) и вероятность убытка (PL) на средний убыток (AL).

В качестве примера можно рассмотреть следующий: позиция – 12,5 тыс. долларов, портфель — 100 тыс. долларов, риск на депозит – 1%. Прибыльность сделок составляет 40% случаев при средней прибыли 20%. В случае убытка средние потери составляют 5%. Расчет математического ожидания для сделки дает значение в 625 долларов.

Величин.

Основные числовые характеристики случайных

Закон распределения плотностью характеризует случайную величину. Но часто он неизвестен, и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно. Такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. Рассмотрим основные из них.

Определение: Математическим ожиданием М(Х) дискретной случайной величины называют сумму произведений всех возможных значений этой величины на их вероятности:

Если дискретная случайная величина Х принимает счётное множество возможных значений, то

Причем математическое ожидание существует, если данный ряд абсолютно сходится.

Из определения следует, что M(X) дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.

Пример: Пусть Х – число появлений события А в одном испытании, P(A) = p . Требуется найти математическое ожидание Х .

Решение: Составим табличный закон распределения Х :

X	0	1
P	1 - p	p

Найдем математическое ожидание:

Таким образом, математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности этого события .

Происхождение термина математическое ожидание связано с начальным периодом возникновения теории вероятностей (XVI-XVIIвв.), когда область ее применения ограничивалась азартными играми. Игрока интересовало среднее значение ожидаемого выигрыша, т.е. математическое ожидание выигрыша.

Рассмотрим вероятностный смысл математического ожидания .

Пусть произведено n испытаний, в которых случайная величина Х приняла m 1 раз значение x 1 , m 2 раз значение x 2 , и так далее, и, наконец, она приняла m k раз значение x k , причём m 1 + m 2 +…+ + m k = n .

Тогда сумма всех значений, принятых случайной величиной Х , равна x 1 m 1 +x 2 m 2 +…+x k m k .

Среднее арифметическое всех значений, принятых случайной величиной Х ,равно:

так как – относительная частота значения для любого значения i = 1, …, k.

Как известно, если число испытаний n достаточно велико, то относительная частота приближённо равна вероятности появления события , следовательно,

Таким образом, .

Вывод: Математическое ожидание дискретной случайной величины приближённо равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.

Рассмотрим основные свойства математического ожидания.

Свойство 1: Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной величине:

М(С) = С.

Доказательство: Постоянную С можно рассматривать , которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р = 1. Следовательно, М(С) =С 1= С.

Определим произведение постоянной величины С на дискретную случайную величину Х как дискретную случайную величину СХ , возможные значения которой равны произведениям постоянной С на возможные значения Х СХ равны вероятностям соответствующих возможных значений Х :

СХ	C	C	…	C
Х			…
Р			…

Свойство 2: Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

M(CX) = CM(X).

Доказательство: Пусть случайная величина X задана законом распределения вероятностей:

X			…
P			…

Напишем закон распределения вероятностей случайной величины CX :

СX	C	C	…	C
P			…

М(CX) = C + C = C + ) = C M(X).

Определение: Две случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какие возможные значения приняла другая величина. В противном случае случайные величины зависимы.

Определение: Несколько случайных величин называются взаимно независимыми, если законы распределения любого числа из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные величины.

Определим произведение независимых дискретных случайных величин X и Y как дискретную случайную величину XY , возможные значения которой равны произведениям каждого возможного значения X на каждое возможное значение Y . Вероятности возможных значений XY равны произведениям вероятностей возможных значений сомножителей.

Пусть даны распределения случайных величин X и Y:

X			…
P			…

Y			…
G			…

Тогда распределение случайной величины XY имеет вид:

XY			…
P			…

Некоторые произведения могут оказаться равными. В этом случае вероятность возможного значения произведения равна сумме соответствующих вероятностей. Например, если = , тогда вероятность значения равна

Свойство 3: Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

M(XY) = M(X) M(Y).

Доказательство: Пусть независимые случайные величины X и Y заданы своими законами распределения вероятностей:

X
P

Y
G

Для упрощения выкладок ограничимся малым числом возможных значений. В общем случае доказательство аналогичное.

Составим закон распределения случайной величины XY :

XY
P

M(XY) =

M(X) M(Y).

Следствие: Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.

Доказательство: Докажем для трех взаимно независимых случайных величин X , Y , Z . Случайные величины XY и Z независимы, тогда получаем:

M(XYZ) = M(XY Z) = M(XY) M(Z) = M(X) M(Y) M(Z).

Для произвольного числа взаимно независимых случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример: Независимые случайные величины X и Y

X	5	2
P	0,6	0,1	0,3

Y	7	9
G	0,8	0,2

Требуется найти M(XY) .

Решение: Так как случайные величины X и Y независимы, то M(XY)=M(X) M(Y)=(5 0,6+2 0,1+4 0,3) (7 0,8+9 0,2)= 4,4 7,4 = =32,56.

Определим сумму дискретных случайных величин X и Y как дискретную случайную величину X+Y , возможные значения которой равны суммам каждого возможного значения X с каждым возможным значением Y . Вероятности возможных значений X+Y для независимых случайных величин X и Y равны произведениям вероятностей слагаемых, а для зависимых случайных величин – произведениям вероятности одного слагаемого на условную вероятность второго.

Если = и вероятности этих значений соответственно равны , то вероятность (то же, что и ) равна .

Свойство 4: Математическое ожидание суммы двух случайных величин (зависимых или независимых) равно сумме математических ожиданий слагаемых:

M(X+Y) = M(X) + M(Y).

Доказательство: Пусть две случайные величины X и Y заданы следующими законами распределения:

X
P

Y
G

Для упрощения вывода ограничимся двумя возможными значениями каждой из величин. В общем случае доказательство аналогичное.

Составим все возможные значения случайной величины X+Y (предположим, для простоты, что эти значения различны; если – нет, то доказательство проводится аналогично):

X+Y
P

Найдем математическое ожидание этой величины.

M (X+Y ) = + + + +

Докажем, что + = .

Событие X = (его вероятность P(X = ) влечет за собой событие, состоящее в том, что случайная величина X + Y примет значение или (вероятность этого события, по теореме сложения, равна ) и обратно. Тогда = .

Аналогично доказываются равенства = = =

Подставляя правые части этих равенств в полученную формулу для математического ожидания, получим:

M(X + Y) = + ) = M(X) + M(Y).

Следствие: Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.

Доказательство: Докажем для трех случайных величин X , Y , Z . Найдем математическое ожидание случайных величин X +Y и Z :

M(X+Y+Z)=M((X+Y Z)=M(X+Y) M(Z)=M(X)+M(Y)+M(Z)

Для произвольного числа случайных величин доказательство проводится методом математической индукции.

Пример: Найти среднее значение суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей.

Решение: Пусть X – число очков, которое может выпасть на первой кости, Y – на второй. Очевидно, что случайные величины X и Y имеют одинаковые распределения. Запишем данные распределений X и Y в одну таблицу:

X	1	2	3	4	5	6
Y	1	2	3	4	5	6
P	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6	1/6

M(X) = M(Y) (1+2+3+4+5+6) = =

M(X + Y) = 7.

Итак, среднее значение суммы числа очков, которые могут выпасть при бросании двух игральных костей равно 7 .

Теорема: Математическое ожидание M(X) числа появлений события А в n независимых испытаниях равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в каждом испытании: M(X) = np.

Доказательство: Пусть X – число наступлений события A в n независимых испытаниях. Очевидно, общее число X появлений события A в этих испытаниях складывается из чисел появлений события в отдельных испытаниях. Тогда, если число появлений события в первом испытании, во втором, и так далее, наконец, – число появлений события в n -ом исытании, то общее число появлений события вычисляется по формуле:

По свойству 4 математического ожидания имеем:

M(X) = M( ) + … + M( ).

Так как математическое ожидание числа появлений события в одном испытании равно вероятности события, то

M( ) = M( )= … = M( ) = p.

Следовательно, M(X) = np.

Пример: Вероятность попадания в цель при стрельбе из орудия равна p = 0,6 . Найти среднее число попаданий, если будет произведено 10 выстрелов.

Решение: Попадание при каждом выстреле не зависит от исходов других выстрелов, поэтому рассматриваемые события независимы и, следовательно, искомое математическое ожидание равно:

M(X) = np = 10 0,6 = 6.

Итак, среднее число попаданий равно 6.

Теперь рассмотрим математическое ожидание непрерывной случайной величины.

Определение: Математическим ожиданием непрерывной случайной величины X, возможные значения которой принадлежат отрезку , называют определенный интеграл:

где f(x) – плотность распределения вероятностей.

Если возможные значения непрерывной случайной величины X принадлежат всей оси Ox, то

Предполагается, что данный несобственный интеграл сходится абсолютно, т.е. сходится интеграл Если бы это требование не выполнялось, то значение интеграла зависело бы от скорости стремления (в отдельности) нижнего предела к -∞, а верхнего предела – к +∞.

Можно доказать, что все свойства математического ожидания дискретной случайной величины сохраняются и для непрерывной случайной величины . Доказательство основано на свойствах определенных и несобственных интегралов.

Очевидно, чтоматематическое ожидание M(X) больше наименьшего и меньше наибольшего из возможных значений случайной величины X . Т.е. на числовой оси возможные значения случайной величины расположены слева и справа от ее математического ожидания. В этом смысле, математическое ожидание M(X) характеризует расположение распределения, и поэтому его часто называют центром распределения .